Você sabia que a Fórmula de Bháskara só existe no Brasil? Na verdade, esse grande matemático Indiano nunca a criou, uma vez que não se utilizavam fórmulas em sua época . A Fórmula resolutiva da equação quadrática se estabeleceu com o nome de Fórmula de Bháskara por um erro histórico, o qual vem se perpetuando até os dias de hoje (para se aprofundar neste tema clique aqui).
Neste artigo iremos discutir a dependência brasileira desta fórmula para o ensino da resolução de equações quadráticas, vamos traçar um panorama de opções para o trabalho com este tema e, por fim vamos chegar à dedução da famosa fórmula de Bháskara (que não é de Bháskara). Vamos nessa?
Explorando uma equação quadrática
De quantas maneiras diferentes é possível encontrar as raízes de x²+2x+1=0? Se você só consegue pensar na fórmula de “Bháskara” você não está sozinho! Em minhas andanças pelo Brasil e em minha longa estrada como professora, o que tenho visto é uma “Bháskaradependência” da maioria das pessoas que participaram de minhas aulas. Tal dependência é resultado do ensino brasileiro de matemática, o qual é excessivamente centrado em fórmulas.
Antes de sair calculando loucamente, devemos parar e analisar o que está sendo pedido pelo problema. Veja que o enunciado: “Calcule as raízes de x²+2x+1=0?” pode ser traduzido para: Quais valores de x tornam a minha equação igual a zero? Agora que sabemos o que está sendo pedido e que raízes são os valores que, quando substituídos no lugar das incógnitas, tornam a equação igual a zero, podemos prosseguir.
Primeira parada: Soma e Produto
Uma possibilidade de resolução é nos perguntarmos, em x²+2x+1=0, a qual, generalizada, é do tipo ax²+bx+c=0, quais números somados resultam em 2 (ou seja, b) e quais números multiplicados resultam em 1 (ou seja, c). A resposta é 1 e 1, pois 1+1=2 e 1.1=1.
O que fizemos aqui? Acabamos de fatorar x²+2x+1=0 e obtivemos a expressão (x+1).(x+1)=0
(faça a distributividade e veja que retornaremos à forma inicial x²+2x+1=0, é esta propriedade que faz com que seja possível resolver uma equação por soma e produto).
Agora estamos prontos para calcular as raízes (números que quando colocados no lugar da incógnita tornam a equação igual a zero). Dito isto, vamos calcular as raízes de (x+1).(x+1)=0. Ora, podemos ver que os únicos valores possíveis para zerar a equação são -1 e -1. Substituindo, temos: ( -1+1).(-1+1)=0.
Vamos dar um zoom na resolução por soma e produto:
(Lembre-se que as raízes são duas devido ao Teorema Fundamental da Álgebra que diz que o número de raízes de um polinômio é igual ao seu grau, no caso o grau da equação quadrática é 2 e ela terá, portanto, duas raízes)
Segunda Parada: Montando um quebra cabeça para achar as raízes
Com um material concreto chamado Algeplan é possível resolver equações quadráticas através da montagem de um quebra cabeças.
Montando as peças do nosso quebra cabeças temos, em termos de áreas, x²=área do quadrado de lado x (em vermelho, abaixo), x= área do retângulo de base=1 e altura=x (em verde, abaixo) e 1= área do quadrado de lado 1 (em rosa, abaixo).
Juntando estas peças, formamos um quadrado de área x²+2x+1 (somando as áreas das peças vermelha, verde e rosa), de lados (x+1).
É por isso que (x+1)² é um quadrado perfeito! Isto representa literalmente um quadrado!!!
A área do quadrado é lado ao quadrado, logo a área do quadrado colorido também pode ser expressa por (x+1)². Ou seja, acabamos de fatorar a nossa equação e já podemos calcular suas raízes, como anteriormente. Veja:
x²+2x+1=0 = (x+1).(x+1)=0 , os únicos valores que zeram a equação são -1 e -1. Logo, as raízes são -1 e -1
Terceira Parada: Completando quadrados
Quando temos equações do tipo x²+6x+1=0 não conseguimos “fechar o nosso quebra cabeça”, o nosso “quadrado” fica incompleto… veja!
Vemos claramente aqui que faltam 8 peças de área 1 para completar o nosso quebra cabeça. Algebricamente, isto significa que teremos que completar o nosso quadrado, assim.
x²+6x+1 +8 =0 +8
Acrescentamos 8 aos dois lados da equação, porque como uma igualdade ela exige que tudo o que seja feito de um lado, seja também feito do outro.
Simplificando x²+6x+1 +8 =0 +8, temos: x²+6x+9=8.
Fatorando x²+6x+9=8, via algeplan, temos (x+3). (x+3)=8 :
Outro quadrado perfeito, agora de área (x+3)²
Podemos agora reescrever:
x²+6x+9=8 é igual a (x+3). (x+3)=8 que, simplificando fica igual a (x+3)²=8.
Aplicando raiz quadrada dos dois lados da equação, temos:
x+3 = +- raiz quadrada de 8.
Isolando x, chegamos às raízes da equação proposta:
x+3-3 = -3 +- raiz quadrada de 8.
Daí, as respostas finais são:
x’= -3 +-raiz quadrada de 8.
x”= -3 – raiz quadrada de 8.
Mas, e a fórmula de “Bháskara”?
A fórmula de “Bháskara” nasce da idéia de completar quadrados, você pode acompanhar a sua dedução clicando neste link. Encerro este artigo destacando a importância de nos aprofundarmos mais e mais na matemática que ensinamos, ressaltando que este mergulho é fundamental para o aprendizado de nossos alunos.
Você sabia que a Fórmula de Bháskara só existe no Brasil? Na verdade, esse grande matemático Indiano nunca a criou, uma vez que não se utilizavam fórmulas em sua época . A Fórmula resolutiva da equação quadrática se estabeleceu com o nome de Fórmula de Bháskara por um erro histórico, o qual vem se perpetuando até os dias de hoje (para se aprofundar neste tema clique aqui).
