O Hotel de Hilbert (David Hilbert)

Considere um hotel hipotético com infinitos quartos, todos ocupados – isto é, todos os quartos contêm um hóspede. Suponha que um novo hóspede chega e gostaria de se acomodar no hotel. Se o hotel tivesse apenas um número finito de quartos, então é claro que o requerimento não poderia ser cumprido, mas como o hotel possui um número infinito de quartos então se movermos o hóspede do quarto 1 para o quarto 2, o hóspede do quarto 2 para o quarto 3 e assim por diante (simultaneamente), movendo o hóspede do quarto N para o quarto N+1, podemos acomodar o novo hóspede no quarto 1, que agora está vago.

Por um argumento análogo é possível alocar um número infinito (contável) de novos clientes: apenas mova o hóspede do quarto 1 para o quarto 2, o hóspede do quarto 2 para o quarto 4, e em geral do quarto N para o quarto 2N, assim todos os quartos de número ímpar estarão livres para os novos hóspedes.

É também possível hospedar nesse hotel um número infinito (contável) de ônibus, cada um contendo um número infinito (contável) de passageiros. A possibilidade de fazer isso depende se os assentos do ônibus já estão numerados (alternativamente, o dono do hotel deve ter o axioma da escolha à sua disposição). Primeiro esvazie os quartos ímpares como acima, então coloque os passageiros do primeiro ônibus nos quartos 3ⁿ para n = 1, 2, 3, …, os passageiros do segundo ônibus serão colocados nos quartos 5ⁿ para n = 1, 2, … e assim por diante; para o ônibus de número i usamos os quartos de número pⁿ onde p é o (i+1)-ésimo número primo.

Isso dá um resultado importante e não intuitivo; a situação “todo quarto está ocupado” e “nenhum novo hóspede pode ser acomodado” não são equivalentes quando existe um número infinito de quartos.

Alguns acham este fato bastante contra-intuitivo. As propriedade de “coleções de coisas” infinitas são bastante diferentes daquelas das “coleções de coisas” finitas. Em um hotel comum (com um número finito de quartos), o número de quartos com numeração ímpar é claramente menor que o número total de quartos (desde que haja mais de um quarto). Entretanto, no Hotel de Hilbert, a quantidade de quartos com numeração ímpar é igual ao número total de quartos.

Em termos matemáticos, a cardinalidade do subconjunto contendo apenas os quartos com numeração ímpar é a mesma do conjunto contendo todos os quartos. De fato, conjuntos infinitos podem ser caracterizados como sendo aqueles que possuem um subconjunto próprio da mesma cardinalidade. Para infinitos contáveis, esta cardinalidade é denominada ℵ₀ (Aleph zero). Em outras palavras, para qualquer conjunto infinito contável, existe uma bijeção que mapeia o conjunto infinito no conjunto dos números naturais, mesmo se o conjunto infinito contém (e é distinto) do conjunto dos naturais.

O que isso significa?

O infinito é diferente: O Hotel de Hilbert mostra que os conjuntos infinitos se comportam de maneira diferente dos conjuntos finitos. Em um conjunto infinito, uma parte pode ser “tão grande quanto” o todo.

Cardinalidade: Em termos matemáticos, isso demonstra que o conjunto dos números naturais (1, 2, 3, …) tem a mesma cardinalidade (o mesmo tamanho) que um subconjunto próprio dele mesmo, como o conjunto dos números pares (2, 4, 6, …), algo impossível para conjuntos finitos.

Fonte: Wikipedia e IA.

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