Teorema de Incompletude e o Paradoxo do mentiroso (Kurt Gödel)

Qualquer teoria efetivamente gerada, capaz de expressar aritmética elementar, não pode ser tanto consistente quanto completa. Em particular, para qualquer teoria formal consistente e efetivamente gerada, que prova certas verdades aritméticas básicas, existe uma afirmação aritmética que é verdadeira, mas que não pode ser provada em teoria.

K. Gödel. On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems. Tradução de Martin Hirzel (27 de novembro, 2000). Disponível em <http://www.research.ibm.com/people/h/hirzel/papers/canon00-goedel.pdf>.

Agora vou tentar simplificar para que possamos entender melhor o enunciado. Pegue um livro acadêmico qualquer: pode ser de física, matemática, química, qualquer um. Coloque-o em cima de uma mesa e trace um círculo imaginário em torno dele. Nada, absolutamente nada do que está naquele livro pode ser provado sem fazer referência a uma realidade que está fora do círculo. Logo, se você morasse dentro do livro, ou estivesse preso a ele, poderia fazer afirmações assumidas como verdade, mas não poderia verificá-las nem prová-las.

Gödel criou sua prova começando com o famoso “paradoxo do mentiroso”. Já ouviu falar nele? O paradoxo do mentiroso é uma brincadeira lógica cujas raízes são buscadas desde os dias de Epimênides (ca. 600 a.C.).

Imagine que eu lhe diga “estou mentindo agora” e pergunte: “Essa afirmação é verdadeira ou falsa?”. Aqui você tem um paradoxo, pois se disser que é falsa, estará dizendo que o que falei é verdade, que não estou mentindo agora. Então já não é falsa. Por outro lado, se disser que é que é verdade, que estou mentindo agora, então já não é verdadeira.

Lembro-me agora de Miguel de Cervantes explorando isso nas páginas de Dom Quixote de la Mancha. Sancho Pança, o fiel escudeiro de Dom Quixote, havia se tornado governador de uma ilha com uma lei muito curiosa. O guardião da ilha deveria perguntar a cada visitante o motivo da visita. Se o sujeito respondesse a verdade, tudo estaria bem. Mas caso mentisse, seria enforcado.

Até que num belo dia apareceu um visitante que respondeu que visitava a ilha para ser enforcado! E agora? Ele deveria ou não ser enforcado? Se não o enforcassem, ele teria mentido, logo, deveria ser enforcado. Mas se o enforcassem, ele teria falado a verdade e sua sentença seria injusta.

Difícil, não e mesmo? Na história de Cervantes, o governador foi bonzinho e libertou o visitante.

Fonte: O Ceticismo da Fé, p. 222 e 223.

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