Por quê 0,9999…. = 1 ?

Estudantes da educação básica (EB) ficam perplexos quando nas aulas de Matemática afirmamos que 0,999… é igual a 1 (e portanto 1,999… = 2 ; -8,999… = -9 ; -0,31999… = -0,32). A maioria dos estudantes, mesmo os concluintes do ensino médio, quando questionados, afirmam que 0,999… é uma aproximação de 1 e não exatamente o número 1. Entre os matemáticos 0,999… representa o número da soma 0,9 + 0,09 + 0,009 + 0,0009 + 0,00009 + … e que converge para o valor 1. Para os alunos da EB dizemos que 0,9 é uma aproximação de 1, outra aproximação maior é 0,99 e ainda mais próxima é 0,999 e conforme aumenta a quantidade de noves após a vírgula nos aproximamos mais ainda de 1. Más 0,999… (com uma infinidade de algarismos 9 após a vírgula) é exatamente 1 e não uma aproximação. Essa é uma ideia bastante intuitiva, mas válida num primeiro momento para chegarmos a um consenso sobre a igualdade 0,999… = 1. O conceito de fração geratriz pode nos auxiliar nessa tarefa sem aprofundarmos o tema, pois aqui não seria oportuno. Fração geratriz é a fração que gera (dá origem) um determinado número racional na forma decimal. Facilmente comprovamos que: 2/3 ou 6/9 é a fração geratriz de 0,666… e também 1/3 ou 3/9 é a fração geratriz de 0,333… . Bom, então sendo 0,666… + 0,333… = 0,999… e 6/9 + 3/9 = 9/9 = 1 seria lógico dizer, portanto que 0,999… = 1. Para os estudantes, fazer conversões da forma fracionária para a decimal ou da decimal para a fracionária é simples e necessário. Aceitar a igualdade como verdade absoluta é outra questão. Existem pelo menos dois procedimentos vistos na EB que comprovam a igualdade 0,999… = 1, más a ideia não é aceita naturalmente e, portanto a grande maioria dos estudantes nessa fase não se convence da igualdade. Uma das maneiras de apresentar a igualdade e comum nos livros da EB é:
Os símbolos 0,999… e 1 representam a mesma ideia. E agora como você entende a questão? Dá pra afirmar que a igualdade é verdadeira? Então responda: Quanto vale 0,888… + 0,222…?
Fonte: Matematicamente contando. (Atualização por Hendrickson Rogers)

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